Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂為銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先依據(jù)條件求出AF₁的長(zhǎng)度，由題意知∠AF₂F₁  小于45°，由 tan∠AF₂F₁＜1 建立關(guān)于a、c的不等式，
轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式，解此不等式求出離心率e的范圍，再結(jié)合 0＜e＜1 得到準(zhǔn)確的離心率e的范圍．

解答：解：由題意知∠AF₂F₁  小于45°，故 tan∠AF₂F₁  ;=

|AF1|

|F1F2|

＜1，即  

b2 a

2c

＜1，
b²＜2ac，a²-c²＜2ac，e²+2e-1＞0，∴e＞

2

-1，或 e＜-1-

2

 （舍去）．
又 0＜e＜1，故有  

2

-1＜e＜1，
故答案為：

2

-1＜e＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的性質(zhì)，利用∠AF₂F₁ 小于45°，tan∠AF₂F₁＜1求出e的范圍，將此范圍與 0＜e＜1取交集．