Question

下列5個命題：
①若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），則sinφ=

4

5

，cosφ=

3

5

；
②函數y=tan(2x+

π

3

)關于點(

π

12

，0)對稱；
③在△ABC中，cosA＞cosB成立的充要條件是A＜B；
④直線x=-

π

3

是函數y=sin(2x+

π

6

)的圖象的一條對稱軸；
⑤將函數y=3cos(3x+

3π

4

)的圖象按向量

a

=(φ，0)平移后的圖象關于原點成中心對稱，且在(-

π

12

，

π

12

)上單調遞減，則|φ|的最小值為

π

12

．
其中正確命題是

③④⑤

．（請將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），則sinφ=-

4

5

，cosφ=

3

5

；②由當x=

π

12

時，y=tan(2x+

π

3

)=tan

π

2

，不存在，知函數y=tan(2x+

π

3

)不能關于點(

π

12

，0)對稱；③由于余弦函數在（0，π）上是減函數，故A＜B的充要條件為cosA＞cosB；④函數y=sin(2x+

π

6

)的圖象的對稱軸：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

kπ

2

+

π

6

，當k=-1時，為x=-

π

3

；⑤函數y=3cos(3x+

3π

4

)的圖象按向量

a

=(φ，0)平移后的圖象關于原點成中心對稱，故3（x-φ）+

3π

4

=

π

2

或3（x-φ）+

3π

4

=

3π

2

，由平移后的圖象y=3cos（3x+

3π

4

-3φ）在(-

π

12

，

π

12

)上單調遞減，知|φ|的最小值φ=

π

12

．

解答：解：∵5cos（x+φ）=5cosxcos∅-5sinxsin∅，
∴若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），
則sinφ=-

4

5

，cosφ=

3

5

，故①不正確；
∵當x=

π

12

時，y=tan(2x+

π

3

)=tan

π

2

，不存在，
∴函數y=tan(2x+

π

3

)不能關于點(

π

12

，0)對稱，故②不正確；
在△ABC中，cosA＞cosB成立的充要條件是A＜B，是真命題，
由于余弦函數在（0，π）上是減函數，故A＜B的充要條件為cosA＞cosB，
故③正確；
函數y=sin(2x+

π

6

)的圖象的對稱軸：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

6

，當k=-1時，為x=-

π

3

，故④正確；
∵函數y=3cos(3x+

3π

4

)的圖象按向量

a

=(φ，0)平移后的圖象關于原點成中心對稱，
∴3（x-φ）+

3π

4

=

π

2

或3（x-φ）+

3π

4

=

3π

2

，
解得φ=

π

12

，或φ=-

π

4

．
∵函數y=3cos(3x+

3π

4

)的圖象按向量

a

=(φ，0)平移后的圖象
y=3cos（3x+

3π

4

-3φ）在(-

π

12

，

π

12

)上單調遞減，
∴|φ|的最小值φ=

π

12

，故⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意三角函數的靈活運用．