Question

（2008•上海模擬）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a，b∈R，，滿足f（a•b）=af（b）+bf（a），f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考查下列結論：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）為偶函數；
（3）數列{a_n}為等比數列；
（4）

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=e．
其中正確的是

①③④

．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1，可得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正確；
（2）用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函數，
（3）把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數列，通過第二步整理，可得第三個結論正確．
（4）b_n=n，利用極限的定義可求

解答：解：對于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正確；
對于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函數，故（2）錯；
對于（3），f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴b_n=n，，∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ，∴a_n=2ⁿ
故數列{a_n}是等比數列，故（3）正確；
對于（4），b_n=n，

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=e，故（4）正確．

點評：本題的考點是數列與函數的綜合．考查了數列與函數的綜合運用，主要涉及了函數的賦值法，等比數列的定義及通項公式的計算等知識．這種題做起來易出錯，使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題