Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，an+1=

an+1    n≤3 2an?? n≥4

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}前100項的和S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1和a_n的關系式，當n≤3時，數列{a_n}是等差數列，當n≥4時，數列{a_n}是等比數列，據此課求出數列{a_n}的通項公式，
（2）首先寫出{na_n}前100項的和的表達式，觀察表達式的結構形式，把表達式各項乘以2，然后減去原先的表達式，進而進行等比數列求和．

解答：解：（1）根據題意，
當n≤3時，a_n+1=a_n+1，
∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=n（n≤3），
當n≥4時，a_n+1=2a_n，
∴數列{a_n}是等比數列，
∴a_n=2^n-4（n≥4）
∴an=

n   n≤3 2n-2?n≥4

，
（2）S₁₀₀=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅++100a₁₀₀
=1+2×2+3×3+4×2²+5×2³++100×2⁹⁸
設T=4×2²+5×2³+6×2⁴++99×2⁹⁷+100×2⁹⁸①
2T=4×2³+5×2⁴++99×2⁹⁸+100×2⁹⁹②
由①-②得：-T=4×2²+2³+2⁴++2⁹⁸-100×2⁹⁹
=2⁴+

23(1-296)

1-2

-100×2⁹⁹
=-99×2⁹⁹+8∴T=99×2⁹⁹-8；
∴S₁₀₀=99×2⁹⁹+6．

點評：本題主要考查數列求和的知識點，還考查等差數列、等比數列等基礎知識，需要有較強的運算求解能力．