Question

14、已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“f′（-1）=0”，先求出函數的導數，再代入計算f′（-1）的值，即可求得a的值；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，再利用導數的幾何意義，求出曲線y=g（x）的切線和曲線y=f（x）的切線，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+6x-6a，f′（-1）=0，
即3a-6-6a=0，∴a=-2．
（2）∵直線m恒過定點（0，9），先求直線m是曲線y=g（x）的切線，設切點為（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6，
∴切線方程為y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），將點（0，9）代入，得x₀=±1，
當x₀=-1時，切線方程為y=9；
當x₀=1時，切線方程為y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1或x=2，
當x=-1時，y=f（x）的切線方程為y=-18；
當x=2時，y=f（x）的切線方程為y=9．
∴公切線是y=9．
又有f′（x）=12得-6x²+6x+12=12，∴x=0或x=1．
當x=0時，y=f（x）的切線方程為y=12x-11；
當x=1時，y=f（x）的切線方程為y=12x-10，
∴公切線不是y=12x+9．
綜上所述公切線是y=9，此時存在，k=0．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．