Question

（2012•福建）已知函數f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)，且在[0，

π

2

]上的最大值為

π-3

2

，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）由題意，可借助導數研究函數f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)，在[0，

π

2

]上的單調性，確定出最值，令最值等于

π-3

2

，即可得到關于a的方程，由于a的符號對函數的最值有影響，故可以對a的取值范圍進行討論，分類求解；
（II）借助導數研究函數f（x）在（0，π）內單調性，由零點判定定理即可得出零點的個數．

解答：解：（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），對于任意的x∈（0，

π

2

），有sinx+xcosx＞0，當a=0時，f（x）=-

3

2

，不合題意；
當a＜0時，x∈（0，

π

2

），f′（x）＜0，從而f（x）在（0，

π

2

）單調遞減，
又函數f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)在[0，

π

2

]上圖象是連續不斷的，故函數在[0，

π

2

]上上的最大值為f（0）=-

3

2

，不合題意；
當a＞0時，x∈（0，

π

2

），f′（x）＞0，從而f（x）在（0，

π

2

）單調遞增，
又函數f(x)=axsinx-

3

2

(a∈R)在[0，

π

2

]上圖象是連續不斷的，故函數在[0，

π

2

]上上的最大值為f（

π

2

）=

π

2

a-

3

2

=

π-3

2

，解得a=1，
綜上所述，得f(x)=xsinx-

3

2

（II）函數f（x）在（0，π）內有且僅有兩個零點．證明如下：
由（I）知，f(x)=xsinx-

3

2

，從而有f（0）=-

3

2

＜0，f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，
又函數在[0，

π

2

]上圖象是連續不斷的，所以函數f（x）在（0，

π

2

）內至少存在一個零點，
又由（I）知f（x）在（0，

π

2

）單調遞增，故函數f（x）在（0，

π

2

）內僅有一個零點．
當x∈[

π

2

，π]時，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（

π

2

）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[

π

2

，π]上的圖象是連續不斷的，故存在m∈（

π

2

，π），使得g（m）=0．
由g′（x）=cosx-xsinx，知x∈（

π

2

，π）時，有g′（x）＜0，從而g（x）在[

π

2

，π]上單調遞減．
當x∈（

π

2

，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，從而f（x）在（

π

2

，m）內單調遞增
故當x∈（

π

2

，m）時，f（x）＞f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，從而（x）在（

π

2

，m）內無零點；
當x∈（m，π）時，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，從而f（x）在（

π

2

，m）內單調遞減．
又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的圖象是連續不斷的，從而f（x）在[m，π]內有且僅有一個零點．
綜上所述，函數f（x）在（0，π）內有且僅有兩個零點．

點評：本題考查利用導數研究函數的最值，研究函數的單調性，及函數零點的判定定理，解題的關鍵是利用導數這個工具研究清楚函數的單調性，本題考察了轉化的思想方法及判斷推理的能力，是高考中常見的題型，必考題，學習時要悉心掌握此類題的解題規律