Question

某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產100臺某產品的生產成本為1萬元，設生產該產品x(百臺），其總成本為g(x)萬元（總成本＝固定成本＋生產成本），并且銷售收人r(x)滿足
假定該產品產銷平衡，根據上述統計規律求：
（1）要使工廠有盈利，產品數量x應控制在什么范圍？
（2）工廠生產多少臺產品時盈利最大？

Answer 1

(1)大于300臺小于1050臺； (2) 600臺

解析試題分析：(1) 由于銷售收入是一個關于產品數量x的一個分段函數，另外計算工廠的盈利需要將銷售收入r(x)減去總的成本g(x)萬元，所以在兩段函數中分別求出盈利大于零的時候產品數量的范圍，及可求得結論.
(2)通過二次函數的最值的求法即可得到盈利最大值時對應的產品數x的值，本小題單位的轉化也是易錯點.
試題解析：依題意得，設利潤函數為，則，
所以 （1）要使工廠有盈利，則有f(x)＞0，因為
f(x)＞0?，
⇒⇒
⇒或，   即. 
所以要使工廠盈利，產品數量應控制在大于300臺小于1050臺的范圍內
（2）當時，
故當x＝6時，f(x)有最大值4.5.而當x＞7時，.
所以當工廠生產600臺產品時，盈利最大．
考點：1.分段函數的應用.2.函數的最值.3.實際問題的構建數學模型解決.