Question

【題目】已知橢圓C1： + =1（a＞b＞0）過點A（1， ），其焦距為2．

（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0），則橢圓在其上一點A（x0 ， y0）處的切線方程為 + =1，試運用該性質解決以下問題：
（i）如圖（1），點B為C1在第一象限中的任意一點，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求△OCD面積的最小值；
（ii）如圖（2），過橢圓C2： + =1上任意一點P作C1的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N．當點P在橢圓C2上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得：橢圓的焦點為F1（﹣1，0），F2（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF1|+|AF2|，

∴ ，所以橢圓C1的方程為 ．

（2）解：（ⅰ）設B（x2，y2），則橢圓C1在點B處的切線方程為

令x=0， ，令 ，所以

又點B在橢圓的第一象限上，所以 ，

∴

∴ ，當且僅當

所以當 時，三角形OCD的面積的最小值為

（ii）設P（m，n），則橢圓C1在點M（x3，y3）處的切線為：

又PM過點P（m，n），所以 ，同理點N（x4，y4）也滿足 ，

所以M，N都在直線 上，

即：直線MN的方程為

所以原點O到直線MN的距離 = ，

所以直線MN始終與圓 相切．

【解析】（1）依題意得：橢圓的焦點為F1（﹣1，0），F2（1，0），由橢圓定義知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，從而可求橢圓C1的方程；（2）（i）確定 ，再結合基本不等式，即可求△OCD面積的最小值；（ii）先求出直線MN的方程，再求出原點O到直線MN的距離，即可得出結論．