Question

給出定義：若函數f（x）在D上可導，即f′（x）存在，且導函數f′（x）在D上也可導，則稱f（x）在D上存在二階導函數，記f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數．以下四個函數在（0，

π

2

）上不是凸函數的是

 

．（把你認為正確的序號都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

Answer 1

分析：①由f″（x）=-（sinx+cosx）且x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對于②，f″（x）=-

1

x2

，且在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；符合定義
對于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）時f″（x）＞0恒成立，不符合定義

解答：解：對于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）時，
f″（x）＜0恒成立；
對于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）時，f″（x）＜0恒成立；
對于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）時f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=xe^x不是凸函數．
故答案為：④

點評：本題通過新定義函數來考查已有的知識的運用即恒成立問題．