Question

    在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點、，若動點滿足且點的軌跡與拋物線交于、兩點.

   （Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在軸上是否存在一點，使得過點的直線交拋物線于于、兩點，并以線段為直徑的圓都過原點。若存在，請求出的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ）  

解析:

（I）解：由得

知點的軌跡是過，兩點的直線，故點的軌跡方程是：

即……………………………3分

由

故…………………………………………6分

（II）假設存在，使得過點的直線交拋物線，于、兩點，

并以線段為直徑的圓都過原點。設

      由題意，直線的斜率不為零，

      所以，可設直線的方程為

      代入 ………………………7分

則即

同時，

……………9分

則

又解得滿足式

      此時，以為直徑的圓都過原點。 ……………………11分

      設弦的中點為則

又

      則消去得,即為所求圓心的軌跡方程。…………14分