Question

【題目】已知函數.

(I）若函數在處的切線方程為，求和的值;

(II)討論方程的解的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：(I）求出 ，結合已知得到 ，據此可求出 的值；(II) 和 ，討論求解，即可得到方程 的解的個數，注意利用導數判斷函數的單調性.

試題解析：（I）因為，

又在處的切線方程為，

所以，

解得.

（II）當時， 在定義域內恒大于，此時方程無解.

當時， 在區間內恒成立，

所以的定義域內為增函數.

因為，

所以方程有唯一解.

當時， .

當時， ，

在區間內為減函數，

當時， ，

在區間內為增函數，

所以當時，

取得最小值.

當時， ，無方程解；

當時， ，方程有唯一解.

當時， ，

因為，且，

所以方程在區間內有唯一解，

當時，

設，

所以在區間內為增函數，

又，所以，即，

故.

因為，

所以.

所以方程在區間內有唯一解，

所以方程在區間內有兩解，

綜上所述，當時，方程無解，

當，或時，方程有唯一解，

當時，方程有兩個解.