Question

已知橢圓E的方程為2x²+y²=2，過橢圓E的一個焦點的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓E的長軸和短軸的長，離心率，焦點和頂點的坐標；
（2）求△ABO（O為原點）的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將橢圓E的方程化為標準方程：x2+

y2

2

=1，于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，由此能夠求出橢圓E的長軸和短軸的長，離心率，焦點和頂點的坐標．
（2）依題意，設直線l過F₂（0，1）與橢圓E的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．根據題意，直線l的方程可設為y=kx+1，將y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．再由韋達定理求△ABO的面積的最大值．

解答：解：（1）將橢圓E的方程化為標準方程：x2+

y2

2

=1，（1分）
于是a=

2

，b=1，c=

a2-b2

=1，
因此，橢圓E的長軸長為2a=2

2

，短軸長為2b=2，離心率e=

c

a

=

2

2

，兩個焦點坐標分別是F₁（0，-1）、F₂（0，1），四個頂點的坐標分別是A1(0，-

2

)，A2(0，

2

)，A₃（-1，0）和A₄（1，0）．（6分）
（2）依題意，不妨設直線l過F₂（0，1）與橢圓E的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則S△ABO=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

．（8分）
根據題意，直線l的方程可設為y=kx+1，
將y=kx+1代入2x²+y²=2，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
由韋達定理得：x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

，（10分）
所以S△ABO=

1

2

(- 2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 • k2+1

k2+2

=

2

k2+1 + 1 k2+1

≤

2

2

（當且僅當

k2+1

=

1

k2+1

，即k=0時等號成立）．（13分）
故△ABO的面積的最大值為

2

2

．（14分）

點評：本題考查橢圓的長軸和短軸的長，離心率，焦點和頂點的坐標的求法和計算△ABO（O為原點）的面積的最大值．解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．