Question

已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(

2

，

2

2

)；斜率為k（k＞0）的直線l過點A（0，2），

n

為直線l的一個法向量，坐標平面上的點B滿足條件|

n

•

AB

|=|

n

|．
（1）寫出橢圓E方程，并求點B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，求k的值．

Answer 1

分析：（1）首先由長軸是短軸的2倍得a、b的一個方程，然后根據橢圓E過點（

2

，

2

2

）得a、b的另一個方程，則解方程組求得a、b，進而求得橢圓E的方程；由直線l過點A（0，2），且斜率為k（k＞0），設其斜截式為y=kx+2，然后取該直線的一個法向量（k，-1），再設點B的坐標為B（x₀，y₀），則根據|

n

•

AB

|=|

n

|得k、x₀、y₀間關系式，而點B（x₀，y₀）到直線y=kx+2的距離

|kx0-y0+2|

1+k2

恰好由前面k、x₀、y₀間的關系式變形可得，則問題解決．
（2）由（1）知，橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，表示與直線l的距離為1的二條平行線與橢圓E恰好有三個交點，則其中一條必與橢圓E相切，把它作為問題的切入點，則由該直線方程y=kx+t與橢≥圓方程

x2

4

+ y2 =1聯立方程組，根據△=0可求得k、t的一個關系式，再由兩平行線間距離公式得k、t的另一個關系式，則解方程組求得k、t，最后注意檢驗把不符號要求的答案舍去．

解答：解：（1）由題意得

a=2b 2 a2 + 1 2 b2 =1

解得a²=4，b²=1，
∴橢圓E方程為：

x2

4

+y2=1．
直線l的方程為y=kx+2，其一個法向量

n

=(k，-1)，設點B的坐標為B（x₀，y₀），由

AB

=(x0，y0-2)及|

n

•

AB

|=|

n

|得|kx0-y0+2|=

1+k2

，
∴B（x₀，y₀）到直線y=kx+2的距離為d=

|kx0-y0+2|

1+k2

=1．
（2）由（1）知，點B是橢圓E上到直線l的距離為1的點，即與直線l的距離為1的二條平行線與橢圓E恰好有三個交點．
設與直線l平行的直線方程為y=kx+t
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①
當△=0時，k2=

t2-1

4

②
又由兩平行線間的距離為1，可得

|t-2|

1+k2

=1③
把②代入③得(t-2)2=1+

t2-1

4

，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0
解得t=1，或t=

13

3

當t=1時，代入②得k=0，與已知k＞0不符，不合題意；
當t=

13

3

時，代入②得k=

2 10

3

，代回③得t=

13

3

或t=

1

3

當k=

2 10

3

，t=

1

3

時，由①知△＞0
此時兩平行線y=

2 10

3

x+

13

3

和y=

2 10

3

x+

1

3

，與橢圓E有三個交點，
∴k=

2 10

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程及點到線的距離公式，同時綜合考查直線與橢圓的位置關系問題．