Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式：

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（1）開講多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
（2）開講5分鐘與開講15分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
（3）一個數學難題，需要55的接受能力以及10分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題？

Answer 1

分析：此題考查的是分段函數的基本知識及分段函數圖象增減性的應用．第一小題求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可．第二小題比較5分鐘和15分鐘學生的接受能力何時強，方法是把x=5代入第一段函數中，而x=15要代入到第二段函數中，比較大小即可．不同的自變量代入相應的解析式才能符合要求．第三小題考查分段函數圖象和增減性，令f（x）=55，第一段函數解得x=6，第二段函數解得x=

52

3

，關鍵是從圖象上知道6＜x＜

52

3

時，f（x）＞55，然后求出兩個時間之差即

52

3

-6=

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3

，其實就是持續的時間，最后和10分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
為開口向下的二次函數，對稱軸為x=13
故f（x）的最大值為f（10）=59
當10＜x≤16時，f（x）=59
當x＞16時，f（x）為減函數，且f（x）＜59
因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．（5分）
（2）f（5）=53.5，f（15）=59
故開講15分鐘時學生的接受能力比開講5分鐘時要強一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=

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3

，
且當6≤x≤

52

3

時f（x）≥55
因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為

52

3

-6=

34

3

＞10
老師能在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．（12分）

點評：此題學生容易出錯，原因是學生把分段函數定義理解不清，自變量取值不同，函數解析式不同是分段函數最顯著的特點．