Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于教師引入概念和描述問題所用的時間．講座開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生的接受能力，x表示引入概念和描述問題所用的時間（單位：分鐘），可有以下的公式：
f（x）=

-0.1x2+2.6x+43，0＜x≤10 59，10＜x≤16 -3x+107，16＜x≤30.

（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？
（2）一道數學難題，需要55的接受能力以及13分鐘，教師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這道難題？

Answer 1

分析：（1）求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
（2）令f（x）=55，分段求出x，兩個時間之差就是持續的時間，最后和13分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，為開口向下的二次函數，對稱軸為x=13
故f（x）遞增，最大值為f（10）=59；當10＜x≤16時，f（x）=59；當30≥x＞16時，f（x）為減函數，且f（x）＜59，因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．
（2）當0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），
當16＜x≤30時，令f（x）=55，解得x=17

1

3

因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
故老師不能在學生一直達到所需接受能力的狀態下講授完這個難題．

點評：本題考查分段函數，考查分段函數圖象和增減性，此題學生容易出錯，原因是學生把分段函數定義理解不清，自變量取值不同，函數解析式不同是分段函數最顯著的特點．