Question

閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=，β=
代入③得sinA+sinB=2sincos．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sinsin；
（Ⅱ）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結論）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過兩角和與差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=，β=，即可證明結果．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結論和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C，以及A+B+C=180°，推出B=90°，得到△ABC為直角三角形
解答：解：（I）根據兩角和與差的余弦公式，有：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ…①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…②
由①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=，β=
代入③得cosA-cosB=-2sinsin．
（II）由（I）得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）=-2sinCsin（A-B）．
1-cos2C=2sin²C
由sinA+sinB=2sincos．
∴-2sinCsin（A-B）=2sin²C．
即2sinC[sin（A-B）+sinC]=0
∵在△ABC中sinC≠0，故sin（A-B）+sinC=0
即A-B=-C
故A+C=B
∴B=90°
故所以△ABC為直角三角形
點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．