Question

若函數，非零向量，我們稱為函數的“相伴向量”，為向量的“相伴函數”.
（1）已知函數的最小正周期為，求函數的“相伴向量”；
（2）記向量的“相伴函數”為，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數，若，求的值；
（3）對于函數，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；
若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（1，1）；（2） ；（3）不存在“相伴向量”

試題分析：（1）由函數平方項展開化簡，再通過化一公式即可得一個函數的形式，又因為最小正周期為，即可求得的值.再將函數展開寫成的形式及可得結論.
（2）由向量為函數的“相伴向量”，所以可得到函數.再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數.再根據.通過解三角方程即可得到所求的結論.
（3）對于函數，是否存在“相伴向量”.通過反證法的思想，可證明不存在函數的“相伴向量”.
（1）


，                          1分
依題意得，故．                           2分
∴，即的“相伴向量”為（1，1）．　　        3分
（2）依題意，，            4分
將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
得到函數，                        5分
再將所得的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到，
即，                            6分
∵，∴，
∵，∴，∴，               8分
∴.         10分
（3）若函數存在“相伴向量”，
則存在，使得對任意的都成立，     11分
令，得，
因此，即或，
顯然上式對任意的不都成立，
所以函數不存在“相伴向量”．                 13分
(注：本題若化成，直接說明不存在的，給1分)