Question

【題目】如圖，四邊形是梯形，四邊形是矩形，且平面平面， ， ， ， 是線段上的動點.

（1）試確定點的位置，使平面，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析： 根據所給圖形，得到當是線段的中點時， 平面，連結，交DF于，連結，利用三角形中位線定理能夠證明平面；

過點作平面與平面的交線，過點作于，過作于，連結由已知條件推導出是平面與平面所成銳二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值。

解析：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF．

證明如下：

連結CE，交DF于N，連結MN，

由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，

由于MN平面DMF，又AC不包含于平面DMF，

∴AC∥平面DMF．

（Ⅱ）過點D作平面DMF與平面ABCD的交線l，

∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，

過點M作MG⊥AD于G，

∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，

∴MG⊥平面ABCD，

過G作GH⊥l于H，連結MH，則直線l⊥平面MGH，∴l⊥MH，

∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．

設AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×=，MG==1

∴cos∠MHG==，

∴所求二面角的余弦值為．