Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因為a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故 ，解得

（2）解：由已知可得f（x）=x+ ﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k2x≥0可化為 2x+ ﹣2≥k2x，

可化為 1+ ﹣2 ≥k，令t= ，則 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[ ，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ，2]上能成立．

記h（t）=t2﹣2t+1，因為 t∈[ ，2]，故 h（t）max =h（2）=1，

所以k的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）由函數g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故 ，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為 2x+ ﹣2≥k2x ， 故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[ ，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，從而求得k的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數在閉區間上的最值和函數的零點與方程根的關系，掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點即可以解答此題．