Question

已知不等式mx²-mx-1＜0．
（1）若對?x∈R不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對?x∈[1，3]不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若對滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分情況討論：若m=0易判斷；當m≠0時，則有

m＜0 △=m2+4m＜0

，解出m，綜合兩種情況即得m范圍；
（2）令f（x）=mx²-mx-1，分三種情況進行討論：當m=0時易判斷；當m＞0時，由題意可得

f(1)＜0 f(3)＜0

，從而得m的不等式組；當m＜0時，數形結合可得f（1）＜0，三者結合可求得m的取值范圍；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由題意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，解此關于x的不等式組即可求得x的范圍；

解答：解：（1）要使不等式mx²-mx-1＜0恒成立，
①若m=0，顯然-1＜0；
②若m≠0，則

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得-4＜m＜0，
綜上，實數m的取值范圍是{m|-4＜m≤0}．
（2）令f（x）=mx²-mx-1，
①當m=0時，f（x）=-1＜0顯然恒成立；
②當m＞0時，若對?x∈[1，3]不等式恒成立，只需

f(1)＜0 f(3)＜0

即可，
所以

f(1)=-1＜0 f(3)=9m-3m-1＜0

，解得m＜

1

6

，
所以0＜m＜

1

6

；
③當m＜0時，函數f（x）的圖象開口向下，對稱軸為x=

1

2

，若對?x∈[1，3]不等式恒成立，結合函數圖象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
綜上所述，實數m的取值范圍是{m|m＜

1

6

}；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若對滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，則只需

g(-2)＜0 g(2)＜0

即可，
所以

-2(x2-x)-1＜0 2(x2-x)-1＜0

，解得

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以實數x的取值范圍是{x|

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

}．

點評：本題考查函數恒成立及二次函數的性質，考查分類討論思想、數形結合思想，解決恒成立問題的常用方法是轉化為函數最值，有時采取數形結合會簡化運算．