Question

（2005•溫州一模）已知四棱錐P-ABCD．四邊形ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC⊥DB．
（Ⅱ）試問：當AP的長度為多少時，二面角D-PC-A的大小為60°？

Answer 1

分析：（方法1）以A為原點，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，以四邊形ABCD的邊長為單位長度建立空間直角坐標系．設P（0，0，h）．
（Ⅰ） 求出

PC

，

DB

的坐標，通過證明

PC

，

DB

的數量積為0來證明PC⊥DB
（Ⅱ）分別求出面CPA，面CPD的一個法向量，利用兩法向量夾角與二面角的大小關系，通過解關于h的方程即可．
（方法2）（ I ）由已知，PC在面ABCD內的射影是AC．且有AC⊥BD，由三垂線定理即可證明 PC⊥DB
（II） 設AC、BD交于E．在面CPA內，作EF⊥CP于F，連接DF，由三垂線定理得DF⊥CP．得出∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角，利用解三角形知識求出AP．

解答：解：（方法1）以A為原點，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，以四邊形ABCD的邊長為單位長度建立空間直角坐標系．設P（0，0，h）．
（I）

PC

=(1，1，-h)，

DB

=(-1，1，0)，

PC

•

DB

=(1，1，-h)•(-1，1，0)=0，所以PC⊥DB．（4′）
（II）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．又PC⊥DB，
∴DB⊥面CPA，所以面CPA的一個法向量是

DB

=(-1，1，0)．（6′）

DP

=(-1，0，h)，

DC

=(0，1，0)．
設面CPD的一個法向量為

h

=(x，y，1)，
則有

DP

•

h

=(-1，0，h)•(x，y，1)=-x+h=0，

DC

•

h

=(0，1，0)•(x，y，1)=y=0．所以

h

=(h，0，1)．（8′）cos?

h

，

DB

＞=

(-1，1，0)•(h，0，1)

2(h2+1)

=

-h

2(h2+1)

．（10′）
由于二面角D-PC-A的平面角與?

h

，

DB

＞相等或互補，∴

h

2(h2+1)

=cos60°=

1

2

，
∴h=1．即當AP的長度為1時，二面角D-PC-A的大小為60°（12′）
（方法2）（I）∵PA⊥面ABCD∴PC在面ABCD內的射影是AC．四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，由三垂線定理得PC⊥BD．（4′）
（II）設AC、BD交于E．在面CPA內，作EF⊥CP于F，連接DF．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DB．
又PC⊥DB，∴DB⊥面CPA，EF是DF在面CPA上的射影，由三垂線定理得DF⊥CP．∠DEF就是二面角A-PD′-C的平面角（8′）．
由△CFE～△CAP，得EF=

AP•CE

CP

=

AP• 2 2

AP2+2

，
∴tan∠DFE=

AP

AP2+2

=

3

3

．
解得AP=1．即當AP的長度為1時，二面角D-PC-A的大小為60°．（12′）

點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線線垂直的證明，空間角的度量． 考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法，
通過建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算，來進行有關證明或計算，則可以有效地降低思維難度．