Question

（2005•溫州一模）已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項的和．對于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數列{a_n} 的通項公式．
（2）若2ⁿ≥tS_n 對于任意的n∈N^* 恒成立，求實數t 的最大值．

Answer 1

分析：（1）令n=1求出首項，然后根據4a_n=4S_n-4S_n-1進行化簡得a_n-a_n-1=2，從而得到數列{a_n}是等差數列，直接求出通項公式即可；
（2）若2ⁿ≥tS_n對于任意的n∈N^*恒成立，則t≤min{

2n

n2

}，然后研究數列的單調性，可求出t的范圍，從而求出所求．

解答：解：（1）∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1．當n≥2時，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，又{a_n}各項均為正數，
∴a_n-a_n-1=2．數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=2n-1．
（ 2）S_n=n²，若2ⁿ≥tS_n對于任意的n∈N^*恒成立，則t≤min{

2n

n2

}．令bn=

2n

n2

，．
當n≥3時，

bn+1

bn

=

2n2

(n+1)2

=

n2+(n-1)n+n

n2+2n+1

＞1．
又b1=2，b2=1，b3=

8

9

，
∴min{bn}=min{

2n

n2

}=

8

9

．
∴t的最大值是

8

9

．

點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及恒成立問題和轉化的數學思想，屬于中檔題．