Question

△ABC所在平面α外有一點P，過P作PO⊥α，垂足為O，連結PA、PB、PC.

(1)若PA=PB=PC，則O為△ABC的　　　　　心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則O為△ABC的?　　　　　?心；

(3)P到三邊AB、BC、CA的距離相等，則O為△ABC的?　　　　　?心；

(4)若PA=PB=PC，∠C=90°，則O是AB邊的　　　　點；

(5)若PA=PB=PC，AB=AC，則O點在　　　　　線上.

Answer 1

解析：(1)如圖，∵PO⊥α,PA=PB=PC，由射影定理不難得到OA=OB=OC，即O是外心.?

(2)如圖，由條件PA、PB、PC兩兩垂直可得AP⊥面PBCPA⊥BCBC⊥AA′，同理可得AB⊥CC′，由此可知O為垂心.?

(3)如圖，若PA′⊥BC,PC′⊥AB?CO⊥AB,AO⊥BC.?

又PA′=PC′OC′=OA′，可知O為內心.?

(4)由(1)知O為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形,故O為AB的中點.?

(5)由(1)知O為△ABC的外心，而AB=AC，故O在△ABC的邊BC的中線上(或高或∠BAC的平分線).

答案：(1)外　(2)垂　(3)內　(4)中　(5)中