Question

過△ABC所在平面R外一點P作P0⊥α，垂足為0，連接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，則點0是△ABC的

外

 心；
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點0是△ABC的

垂

心．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的性質，可得若PA=PB=PC，可得AO=BO=CO，則點0是△ABC的外心；
（2）由線面垂直的判定定理，得PA⊥PB，PC⊥PA則PA⊥平面PBC，得PA⊥BC．結合三垂線定理，得到AO⊥BC．同理可得BO⊥AC、CO⊥AB，由此可得點0是△ABC的垂心．

解答：解：（1）若PA=PB=PC，
∵P0⊥α，垂足為0，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PBO
可得AO=BO=CO，得點0是△ABC的外心
（2）若PA⊥PB，PC⊥PA，PC⊥PA，
∵PB、PC是平面PBC內的相交直線
∴PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC
∵AO是PA在平面ABC內的射影，
∴AO⊥BC，同理可得BO⊥AC、CO⊥AB
因此，點0是△ABC的垂心
故答案為：外、垂

點評：本題給出三棱錐P-ABC滿足的條件，求點O與三角形ABC的關系，著重考查了線面垂直的判定與性質和三角形的五心等知識，屬于中檔題．