Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an＋1＝Sn＋3n（n∈N*）．

（1）求證：數列{Sn－3n}是等比數列；

（2）若{an}為遞增數列，求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由，可得數列是公比為，首項為的等比數列；（2）當時， ，利用為遞增數列，即可求解的取值范圍.

試題解析：（1）證明：∵an＋1＝Sn＋3n（n∈N*），∴Sn＋1＝2Sn＋3n，

∴Sn＋1－3n＋1＝2（Sn－3n）．又∵a1≠3，

∴數列{Sn－3n}是公比為2，首項為a1－3的等比數列．

（2）由（1）得，Sn－3n＝（a1－3）×2n－1，∴Sn＝（a1－3）×2n－1＋3n.

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（a1－3）×2n－2＋2×3n－1.

∵{an}為遞增數列，

∴當n≥2時，（a1－3）×2n－1＋2×3n＞（a1－3）×2n－2＋2×3n－1，

∴2n－212×＋a1－3>0，∴a1＞－9.

∵a2＝a1＋3＞a1，∴a1的取值范圍是a1＞－9.