Question

【題目】已知曲線的方程為：，其中：，且為常數.

（1）判斷曲線的形狀，并說明理由；

（2）設曲線分別與軸，軸交于點(不同于坐標原點），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設直線與曲線交于不同的兩點,且為坐標原點），求曲線的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲線是以點為圓心， 以為半徑的圓；（2）定值，證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將曲線的方程化為，即可得到曲線的形狀；（2）在曲線的方程中令,得，進而得到點，計算的三角形的面積，即可判定面積為定值；（3）由圓過坐標原點，且，求得，當時，直線與圓相離，舍去，當時，即可求解圓的方程.

試題解析：（1）將曲線的方程化為,即.

可知曲線是以點為圓心， 以為半徑的圓.

（2）的面積為定值.證明如下：在曲線的方程中令,得，

得點在曲線方程中令，得，得點，（ 定值）.

（3）圓過坐標原點，且，

當時， 圓心坐標為圓的半徑為，

圓心到直線的距離,

直線與圓相離，不合題意舍去，時符合題意.

這時曲線的方程為.