Question

（2013•泰安一模）設奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，f（-1）=-1．若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• C．t≤-2或t=0或t≥2
• D．t≤-

  1

  2

  或t=0或t≥

  1

  2

Answer 1

分析：要使函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，只需要f（x）的最大值小于等于t²-2at+1，再變換主元，構建函數，可得不等式，從而可求t的取值范圍．

解答：解：∵奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，f（-1）=-1
∴x=1時，函數有最大值f（1）=1
若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，
∴1≤t²-2at+1
∴2at-t²≤0，
設g（a）=2at-t²（-1≤a≤1），
欲使2at-t²≤0恒成立，則

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

-2t-t2≤0 2t-t2≤0

∴t≤-2或t=0或t≥2
故選C．

點評：本題考查函數的奇偶性，單調性與最值，考查恒成立問題，考查變換主元的思想，利用最值解決恒成立問題時我們解決這類問題的常用方法．