Question

【題目】設函數.

（1）當時，求的極值；

（2）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）當， 取得極小值；當時， 取得極大值；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ，求導，然后利用求極值的一般步驟即可得到的極值；

（2）證明：當時， ， ，

則證明上述不等式成立，即證明.

設，利用導數研究的性質可得.，

再令，利用導數研究的性質可得所以，

所以，即.

試題解析：（1）當時， ，

，

當時， ， 在上單調遞減；

當時， ， 在上單調遞增；

當時， ， 在上單調遞減.

所以，當， 取得極小值；

當時， 取得極大值.

（2）證明：當時， ， ，

所以不等式可變為.

要證明上述不等式成立，即證明.

設，則，

令，得，

在上， ， 是減函數；在上， ， 是增函數.

所以.

令，則，

在上， ， 是增函數；在上， ， 是減函數，

所以，

所以，即，即，

由此可知.