Question

【題目】已知函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示.

（I）求函數(shù)的解析式；

（II）設(shè)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及這兩個(gè)根的和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.

【解析】

（I）根據(jù)三角函數(shù)的圖像的最高點(diǎn)，求得的值，根據(jù)三角函數(shù)的周期，求得的值，根據(jù)函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，求得的值，由此求得函數(shù)的解析式.（II）畫出函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像求得的的取值范圍.根據(jù)對(duì)稱性求得兩根的和.

（I）由題設(shè)圖象，易得，，

所以，所以.

所以.

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

所以，即.

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以.

故所求函數(shù)的解析式為.

（Ⅱ）由題意，知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

因?yàn)?/span>，

易畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（如圖所示）.

依據(jù)圖象可知：

當(dāng)或時(shí)，

直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.

①當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩交點(diǎn)且關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)此時(shí)方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為，，

所以當(dāng)，即

②當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩交點(diǎn)且關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)此時(shí)方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為，，

所以，即

綜上，當(dāng)時(shí)，所求方程的兩根之和為

當(dāng)時(shí)，所求方程的兩根之和為.