Question

已知橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)，，且與橢圓相切于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，使得?若存在，試求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）由題得過兩點(diǎn)，直線的方程為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/42/3/0nsnh3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，. 設(shè)橢圓方程為,  
由消去得，.又因?yàn)橹本�與橢圓相切,所以
，解得。所以橢圓方程為      
Ⅱ已知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.
由消去，整理得.  
由題意知，解得
設(shè)，，，則.    
又直線與橢圓相切，
由解得，所以   
則. 所以.
又


 所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.
所以直線的方程為.  
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，探索直線方程是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．