Question

如圖,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數為(　　)

(A)60 (B)480

(C)420 (D)70

 

Answer 1

C

【解析】分兩步,先將四棱錐一側面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數,用乘法原理可求解.

由題設,四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60種染色方法.

當S,A,B染好時,不妨設所染顏色依次為1,2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法,即當S,A,B染好時,C,D還有7種染法.

故不同的染色方法有60×7=420種.

【一題多解】以S,A,B,C,D的順序分步染色.

第一步,S點染色,有5種方法;

第二步,A點染色,與S在同一條棱上,有4種方法;

第三步,B點染色,與S,A分別在同一條棱上有3種方法;

第四步,C點染色,也有3種方法,但考慮到D點與S,A,C相鄰,需針對A與C是否同色進行分類,當A與C同色時,D點有3種染色方法,當A與C不同色時,因為C與S,B也不同色,所以C點有2種染色方法,D點也有2種染色方法.

由分步乘法計數原理,分類加法計數原理,得共有5×4×3×(1×3+2×2)=420種不同方法.

【方法技巧】涂色問題的兩種解題方案

一是選擇正確的涂色順序,按步逐一涂色,這時用分步乘法計數原理逐一計數.

二是根據涂色時用顏色的多少,進行分類處理,這時用分類加法計數原理進行計數.

注意點:在分步涂色時,要盡量讓相鄰區域多的區域先涂,在分類涂色時要注意不相鄰區域的顏色可相同也可不同,這是所用顏色多少的依據.