Question

【題目】2017年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(Ⅰ)估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)査的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

(i)得分不低于μ可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ則只有1次；

(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：

贈(zèng)送話費(fèi)(單元：元)	10	20
概率

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： ，

若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

Answer 1

【答案】(1) 65，65 (2) 0.8185（3）

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由(0.0025 +0.0050+0.0100+0.0150 + a + 0. 0225 + 0. 0250)×10 =1，得a =0.0200,設(shè)中位數(shù)為，由(0.0025 + 0. 0150 + ) ×10+(x-60) ×0.0250 = 0.5000，解得x = 65, 由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65.

(Ⅱ) 從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值μ為

μ= 35×0.025 + 45×0.15 +55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+ 95×0.05=65，因?yàn)橛捎诘梅諾服從正態(tài)分布N(65,210)，所以

P(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60 + 14.5×2)= 即得解;

(Ⅲ) 設(shè)得分不低于μ分的概率為p，則P(Z≥μ)= ，由題意得各概率即可得分布列和期望.

試題解析：

(Ⅰ)由(0.0025 +0.0050+0.0100+0.0150 + a + 0. 0225 + 0. 0250)×10 =1，得a =0.0200,

設(shè)中位數(shù)為，由(0.0025 + 0. 0150 + ) ×10+(x-60) ×0.0250 = 0.5000，解得x = 65,

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65.

(Ⅱ)從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值μ為

μ= 35×0.025 + 45×0.15 +55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+ 95×0.05

=0.875 + 6.75+11 +16.25+ 16. 875 + 8.5 +4.75 = 65

因?yàn)橛捎诘梅諾服從正態(tài)分布N(65,210)，

所以P(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60 + 14.5×2)= =0.8185.

(Ⅲ)設(shè)得分不低于μ分的概率為p，則P(Z≥μ)= ，

X的取值為10,20,30,40，

P(X=10) =，

P(X=30) =，.

所以X的分布列為：

X	10	20	30	40

所以.