Question

設F為拋物線y=-

1

4

x2的焦點，該拋物線在點P（-4，-4）處的切線l與x軸的交點為Q，則△PFQ的外接圓的方程為

(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

．

Answer 1

分析：確定拋物線的焦點與在點P（-4，-4）處的切線，求出Q的坐標，再利用PQ⊥QF，即可求得△PFQ的外接圓的方程．

解答：解：拋物線y=-

1

4

x2的焦點F（0，-1）
求導函數可得y′=-

1

2

x，當x=-4時，y′=-

1

2

× (-4)=2
∴拋物線在點P（-4，-4）處的切線為y+4=2（x+4），即2x-y+4=0
令y=0，可得x=-2，∴Q（-2，0）
∵kQF=

-1

2

=-

1

2

，k_PQ=2
∴PQ⊥QF
∴△PFQ的外接圓的直徑為PF
∵P（-4，-4）、F（0，-1）
∴圓心坐標為（-2，-

5

2

），半徑為

5

2

∴△PFQ的外接圓的方程為(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

故答案為：(x+2)2+(y+

5

2

)2=

25

4

點評：本題考查拋物線的性質與切線，考查三角形的外接圓，解題的關鍵是求出拋物線的切線，確定三角形三個頂點的坐標．