Question

設F為拋物線y²=2x-1的焦點，Q （a，2）為直線y=2上一點，若拋物線上有且僅有一點P滿足|PF|=|PQ|，則a的值為

0或1

．

Answer 1

分析：先設P（x，y），根據拋物線的方程易得拋物線y²=2x-1的焦點坐標，由|PF|=|PQ|利用兩點間的距離公式結合拋物線的方程消x得出關于y的一元方程（a-1）y²+4y-a²+a-4=0，通過討論此方程解的情況即可求出正確答案．

解答：解：設P（x，y）．
易得拋物線y²=2x-1的焦點：F（1，0）
由|PF|=|PQ|⇒（x-1）²+y²=（x-a）²+（y-2）²
對上式整理得：2（a-1）x=a²-4y+3
2（a-1）x=a²-4y+3
將2x=y²+1代入上式得：（a-1）y²+4y-a²+a-4=0
當a=1時⇒方程只有一解：x=1，y=1
當a≠1時，由△=0⇒a=0⇒方程只有一解：x=

5

2

，y=2
綜上所述：a=0或a=1．
故答案為：0或1．

點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、拋物線的方程的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．