Question

不等式|x-1|+|2x-1|＞a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過(guò)對(duì)x范圍的分類討論，可求得f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

的最小值，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

，
∴當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，f（x）=2-3x為（-∞，

1

2

）上的減函數(shù)，故f（x）＞f（

1

2

）=

1

2

；
當(dāng)

1

2

≤x≤1時(shí)，f（x）=x，

1

2

≤f（x）≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=3x-2為（1，+∞）上的增函數(shù)，故f（x）＞1；
綜上所述，f（x）_min=

1

2

，
∵不等式|x-1|+|2x-1|＞a恒成立，
∴a＜f（x）_min=

1

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

）．
故答案為：（-∞，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，求得f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

的最小值是關(guān)鍵，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．