Question

已知函數(shù)f（x）=ln|x+1|-ax²．
（Ⅰ）若a=

2

3

且函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若a=0，求證f（x）≤|x+1|-1；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在原點(diǎn)O處的切線為l，試探究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）的圖象上存在點(diǎn)在直線l的上方？若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=

2

3

且x＞-1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-

2

3

x²，求導(dǎo)，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0可得；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，不等式f（x）≤|x+1|-1即ln|x+1|-|x+1|+1≤0，令t=|x+1|，則t＞0，此時(shí)不等式ln|x+1|-|x+1|+1≤0等價(jià)于不等式lnt-t+1≤0（t＞0），令φ（t）=lnt-t+1，利用導(dǎo)數(shù)可證明φ（t）≤0；
（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得直線l的方程為y=x．令g（x）=ln|x+1|-ax²-x，則命題“函數(shù)y=f（x）的圖象上存在點(diǎn)在直線l的上方”可等價(jià)轉(zhuǎn)化為“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0．”分①當(dāng)a＞0時(shí)，②a≤0兩種情況討論，a＞0時(shí)可化為極大值大于0；a≤0時(shí)，由存在x=-e-1使得g（-e-1）=e+2-a（e+1）²＞0恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

2

3

且x＞-1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-

2

3

x²，
f′（x）=

1

x+1

-

4

3

x=

-4x2-4x+3

3(x+1)

=-

(2x+3)(2x-1)

3(x+1)

，
令f′（x）＞0，∵x＞-1，∴（2x+3）（2x-1）＜0，解得-1＜x＜

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

1

2

）；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln|x+1|，不等式f（x）≤|x+1|-1即ln|x+1|-|x+1|+1≤0，
令t=|x+1|，則t＞0，
此時(shí)不等式ln|x+1|-|x+1|+1≤0等價(jià)于不等式lnt-t+1≤0（t＞0），
令φ（t）=lnt-t+1，則φ′（t）=

1

t

-1=

1-t

t

．
令φ′（t）=0，得t=1，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)φ′（t）＞0，φ（t）遞增；當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，φ′（t）＜0，φ（t）遞減，
故t=1時(shí)，φ（t）取得極大值，也為最大值，
∴t＞0時(shí)，φ（t）≤φ（1）=0，即lnt-t+1≤0，
∴f（x）≤|x+1|-1成立．
（Ⅲ）當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-ax²．f′（x）=

1

x+1

-2ax，
∴直線l的斜率k=f′（0）=1，
又f（0）=0，∴直線l的方程為y=x．
令g（x）=ln|x+1|-ax²-x，則命題“函數(shù)y=f（x）的圖象上存在點(diǎn)在直線l的上方”可等價(jià)轉(zhuǎn)化為“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0．”
當(dāng)x＞-1時(shí)，g（x）=ln（x+1）-ax²-x，g′（x）=

1

x+1

-2ax-1，當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）=ln（-x-1）-ax²-x，g′（x）=

1

x+1

-2ax-1，
∴對(duì)x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），都有g′(x)=

-2ax2-(2a+1)x

x+1

=

-2ax(x+1+ 1 2a )

x+1

．
令g′（x）=0，解得x=0或x=-

2a+1

2a

．
①當(dāng)a＞0時(shí)，-

2a+1

2a

＜-1，當(dāng)x∈（-∞，-1-

1

2a

）∪（-1，0）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（-1-

1

2a

，-1）∪（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0；
∴x=-1-

1

2a

或0時(shí)，g（x）取得極大值，
又g（-1-

1

2a

）=ln

1

2a

+

1

4a

-a，g（0）=0，
∴為使命題“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0”成立，只需g（-1-

1

2a

）=ln

1

2a

+

1

4a

-a＞0，
令t=

1

2a

，則g（-1-

1

2a

）=lnt-

1

2t

+

1

2

t，令h（t）=lnt-

1

2t

+

1

2

t（t＞0），
∵h(yuǎn)′（t）=

1

t

+

1

2t2

+

1

2

＞0，∴h（t）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又注意到h（1）=0，∴當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時(shí)，h（t）＞0，
故關(guān)于a的不等式ln

1

2a

+

1

4a

-a＞0的解集為{a|0＜a＜

1

2

}；
②當(dāng)a≤0時(shí)，∵存在x=-e-1使得g（-e-1）=e+2-a（e+1）²＞0恒成立．
∴總存在點(diǎn)（-e-1，1-a（e+1）²）在直線l的上方．
綜合①②，可知a的取值范圍為{a|a＜

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．