Question

如圖，在三棱柱中， ，，，點是的中點，.

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）設點在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）連接交于點，連接，得到∥，進一步可得∥平面.                          
（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，
連接交于點，連接，則是的中點
在中，點是的中點，
所以∥，                   
又，，
所以∥平面.                          （5分）
（Ⅱ）在中，，，點是的中點
所以，又，是平面內的相交直線，
所以平面，可知.                （7分）
又，是平面內的相交直線，交點是D，
知平面. 平面
在三棱柱中，為線段上的點，
過分別作于點，于點，連接
由平面，，得
又，、是平面內的相交直線
所以平面，
是在平面內的射影，
是直線和平面所成的角.                （12分）
設，由得，
可得，
所以在中，, 解得 （14分）
點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關系、垂直關系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標系，往往能簡化解題過程。