Question

【題目】已知動圓在圓：外部且與圓相切，同時還在圓：內部與圓相切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）記（1）中求出的軌跡為，與軸的兩個交點分別為、，是上異于、的動點，又直線與軸交于點，直線、分別交直線于、兩點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由直線與圓相切，則，則點的軌跡是以 ，為焦點的橢圓，即可求得橢圓方程；

（2）方法一：設，分別求得直線的方程，直線的方程，分別求得點和的坐標，則，即可求得為定值；
方法二：設直線的斜率為，直線的斜率為，聯立直線的方程與直線的方程，求出點坐標，將點坐標代入橢圓方程，即可求得，為定值．

（1）設動圓的半徑為，由已知得，，，

點的軌跡是以 ，為焦點的橢圓，

設橢圓方程：（），則，，則，

方程為：；

（2）解法一：設 ，由已知得， ，則，，

直線的方程為：，

直線的方程為：，

當時，，，

，

又滿足，

，

為定值．

解法二：由已知得，，設直線的斜率為，直線的斜率為，由已知得，，存在且不為零，

直線的方程為：，

直線的方程為：，

當時，，，

,

聯立直線和直線的方程，可得點坐標為，

將點坐標代入橢圓方程中,得，

即，

整理得 ，

，，

為定值．