Question

【題目】已知拋物線的焦點為，直線與軸相交于點，與曲線相交于點，且

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，求證點的縱坐標為定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

（1）根據拋物線定義得，再根據點N坐標列方程，解得結果，（2）利用導數求切線斜率，再根據切線方程解得A點縱坐標，最后利用直線與方程聯立方程組，借助韋達定理化簡的縱坐標.

解：（1）由已知拋物線的焦點 ，

由，得，即

因為點，

所以，

所以拋物線方程：

（2）拋物線的焦點為

設過拋物線的焦點的直線為 ．

設直線與拋物線的交點分別為 ，

由消去得：,根據韋達定理得

拋物線,即二次函數，對函數求導數，得，

所以拋物線在點 處的切線斜率為

可得切線方程為，化簡得 ，

同理，得到拋物線在點處切線方程為，

兩方程消去，得兩切線交點縱坐標滿足,

，

，即點的縱坐標是定值．