Question

動點P與點F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C₁．圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動點，圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設點A（a，0）（a＞2），若點A到點T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點P的坐標為（x，y），依題意，得，由此能得到曲線C₁的方程．
（2）設點T的坐標為（x，y），圓C₂的半徑為r，點T是拋物線C₁：y²=4x上的動點，y²=4x（x≥0）．==．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x=a-2時，|AT|取得最小值為，由此入手能夠判斷判斷直線l與圓C₂的位置關系．
解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，
即，（2分）
化簡得：y²=4x，
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2分）
∴曲線C₁的方程為y²=4x．（4分）
（2）設點T的坐標為（x，y），圓C₂的半徑為r，
∵點T是拋物線C₁：y²=4x上的動點，
∴y²=4x（x≥0）．
∴（6分）
==．
∵a＞2，∴a-2＞0，則當x=a-2時，|AT|取得最小值為，（8分）
依題意得=a-1，
兩邊平方得a²-6a+5=0，
解得a=5或a=1（不合題意，舍去）．（10分）
∴x=a-2=3，y²=4x=12，即．
∴圓C₂的圓心T的坐標為（3，±2）．
∵圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴．
∴．（12分）
∵點T到直線l的距離，
∴直線l與圓C₂相離．（14分）
點評：本題考查圓的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意解答，合理進行等價轉化．