Question

動點P與點F（1，0）的距離和它到直線l：x=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C₁，圓C₂的圓心T是曲線C₁上的動點，圓C₂與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4。
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設點A（a，0）（a＞2），若點A到點T的最短距離為a-1，試判斷直線l與圓C₂的位置關系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）設動點P的坐標為（x，y），依題意，得|PF|=|x+1|，即，
化簡得，，
∴曲線C₁的方程為。
（2）設點T的坐標為，圓C₂的半徑為r，
∵ 點T是拋物線上的動點，
∴()，
∴ ，
∵a＞2，∴a-2＞0，則當時，|AT|取得最小值為， 
依題意得，兩邊平方得，
解得：a=5或a=1(不合題意，舍去)，
∴，，即，
∴圓的圓心T的坐標為，
∵圓與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴，
∴，
∵點T到直線l的距離，
∴直線l與圓相離。