Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；

（Ⅱ）求證: 當(dāng)時，有；

（Ⅲ）設(shè),當(dāng)時,不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時，取得最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時，．由（1）知：當(dāng)時，，即．

因此，有．

（Ⅲ）整數(shù)的最大值是. 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,所以 ．

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時，取得最大值；           ………………3分

（Ⅱ）當(dāng)時，．由（1）知：當(dāng)時，，即．

因此，有．………………7分

（Ⅲ）不等式化為所以

對任意恒成立．令，則，

令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當(dāng)，即，當(dāng)，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．故整數(shù)的最大值是.     ……………13分

考點：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性及不等式中的應(yīng)用。

點評：較難題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，解題時注意函數(shù)的定義域，避免出錯。