Question

已知：二次函數g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求二次函數g（x）的圖象的對稱軸方程；
（2）求函數g（x）的解析式；
（3）設f(x)=

g(x)

x

．若f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1

，1

時恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對g（x）進行配方即可求得；
（2）先判斷g（x）的單調性，由單調性得到其最值，根據最值列出方程組，解出即可；
（3）由f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1

，&1

時恒成立，分離出參數k，轉化為函數最值問題，換元后利用二次函數知識可求出最值．

解答：解：（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b，
∴函數g（x）的圖象的對稱軸方程為x=1．
（2）∵a＞0，∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在區間[2，3]上遞增．
依題意得

g(2)=1 g(3)=4

，即

a-a+1+b=1 4a-a+1+b=4

，解得

a=1 b=0

，
∴g（x）=x²-2x+1．
（3）f(x)=

g(x)

x

=x+

1

x

-2．
f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，
即  2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，也即k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1在x∈[-1，1]時恒成立，
令t=

1

2x

，由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]．
∵(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1=t²-2t+1=（t-1）²，∴當t=1時，取得最小值0．
∴k≤0．即實數k的取值范圍（-∞，0]．

點評：本題考查二次函數的性質及閉區間上的最值問題，對于恒成立問題轉化為求函數最值是解決該類問題的常用方法．