Question

已知：二次函數g（x）是偶函數，且g（1）=0，對?x∈R，有g（x）≥x-1恒成立，令f（x）=g（x）+mlnx+，（m∈R）
（I）求g（x）的表達式；
（II）當m＜0時，若?x＞0，使f（x）≤0成立，求m的最大值；
（III）設1＜m＜2，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

解（I）設g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵g（x）是偶函數，∴g（-x）=g（x）∴b=0
又g（1）=0∴a+c=0，
∴g（x）=ax²-a
∵x-1≤g（x）對?x∈R恒成立，
∴ax²-a≥x-1恒成立，
∴a＞0，且△≤0得 ，
∴．
（II） =，

當m＞0時，f（x）的值域為R
當m=0時，恒成立
當m＜0時，令

x
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小	↗

這時
若?x＞0使f（x）≤0成立則只須f（x）_min≤0即m≤-e，
綜上所述，實數m的取值范圍（-∞，-e）∪（0，+∞）．
（III）∵，所以H（x）在[1，m]單減
于是 ，
，
記 ，則
所以函數h（m）在[1，e]是單增函數
所以
故命題成立．
分析：（I）直接設出g（x）的表達式，根據偶函數求出b的值，根據g（1）=0得到a與c的關系，利用不等式x-1≤g（x）恒成立，則a＞0，且△≤0求出a，即可求出函數的解析式．
（II）先求出函數f（x）的表達式，在對實數m分情況求出對應函數f（x）的值域，讓實數m與函數f（x）的最小值比較即可求實數m的取值范圍；
（III）先求出函數H（x）在[1，m]單減，進而得 ，轉化為求 的最大值問題即可．
點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數解析式的求法，是對函數以及導函數知識的綜合考查，是有難度的題．