Question

已知tan(

π

4

+α)=2，tanβ=

1

2

．
（1）求tanα的值；
（2）求

sin(α+β)-2sinαcosβ

2sinαsinβ+cos(α+β)

的值．

Answer 1

分析：（1）首先令α=（

π

4

+α）-

π

4

，然后根據兩角差的正切函數公式求得tanα即可；
（2）利用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡合并得到tan（β-α），再根據兩角和與差的正切函數公式求出即可．

解答：解：（1）∵tan(

π

4

+α)=2，
∴tanα=tan[(

π

4

+α)-

π

4

]=

tan( π 4 +α)-tan π 4

1+tan( π 4 +α)tan π 4

=

2-1

1+2×1

=

1

3

．
（2）

sin(α+β)-2sinαcosβ

2sinαsinβ+cos(α+β)

=

sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ

2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ

=

cosαsinβ-sinαcosβ

cosαcosβ+sinαsinβ

=

sin(β-α)

cos(β-α)

=tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanβtanα

=

1 2 - 1 3

1+ 1 2 × 1 3

=

1

7

．

點評：考查學生靈活運用兩角和與差的正切、正弦及余弦函數公式進行運算，以及靈活運用同角三角函數間的基本關系解決問題．