Question

【題目】設函數 ，若曲線 上存在（x0 ， y0），使得f（f（y0））=y0成立，則實數m的取值范圍為（ ）
A.[0，e2﹣e+1]
B.[0，e2+e﹣1]
C.[0，e2+e+1]
D.[0，e2﹣e﹣1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴ 的最大值為e，最小值為1，∴1≤y0≤e，

顯然f（x）= 是增函數，

（i）若f（y0）＞y0，則f（f（y0））＞f（y0）＞y0，與f（f（y0））=y0矛盾；

（ii）若f（y0）＜y0，則f（f（y0））＜f（y0）＜y0，與f（f（y0））=y0矛盾；

∴f（y0）=y0，

∴y0為方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，

由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，

令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，

則g′（x）=2x﹣1﹣ = = ，

∴當x∈[1，e]時，g′（x）≥0，

∴g（x）在[1，e]上單調遞增，

∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，

∴0≤m≤e2﹣e﹣1．

故選D．