Question

【題目】“禿發(fā)”是一種常見的毛發(fā)疾病，隨著發(fā)病人群年齡結(jié)構(gòu)的年變化，逐漸引起了社會的廣泛關(guān)注.一個人出生時頭發(fā)數(shù)量約為100000根，數(shù)學徐老師建立了“禿發(fā)”函數(shù)模型作預估：一個人歲時的頭發(fā)根數(shù)為，其中稱為“脫發(fā)指數(shù)”.

（1）杜老師5歲時有74375根頭發(fā)，請依據(jù)模型求出杜老師的“脫發(fā)指數(shù)”的值；

（2）徐老師的學生認為“禿發(fā)”函數(shù)模型中有兩個缺點：①頭發(fā)的根數(shù)應該為整數(shù)；②頭發(fā)的根數(shù)不能為負數(shù)，徐老師感覺很有道理，將模型作了兩處修正，請寫出修正后（1）問中杜老師的“禿發(fā)”函數(shù)模型，并求出杜老師幾歲時頭發(fā)最多.

Answer 1

【答案】（1）；（2），杜老師4歲時頭發(fā)最多.

【解析】

（1）將代入求解即可求出的值；

（2）引入求整數(shù)的符號，且將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，當函數(shù)值為負數(shù)時變?yōu)槌��?shù)0即可，最后結(jié)合基本不等式求出即可.

（1）依題意，當時，，

解得，，所以，杜老師的“脫發(fā)指數(shù)”的值為3125；

（2）依題意可得，，

其中表示不超過x的最大整數(shù)，

由，

當且僅當時，等號成立，此時，.

即杜老師4歲時頭發(fā)最多.