Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。試建立適當的直角坐標系，解決下列問題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（2）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。

Answer 1

（1）；（2）詳見答案。

解析
試題分析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，⊙O的方程為，直線L的方程為。……2分
（1）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，
∴，。將x=4代入，
得                   ……4分
。∴MN的中點坐標為（4，0），MN=。                      ……6分
∴以MN為直徑的圓的方程為。同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是。                                    ……8分
（2）設點P的坐標為，∴（），∴。
∵，將x=4代入，得，。                                        ……10分
∴，MN=。MN的中點坐標為。                                             ……12分
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。
∴⊙必過⊙O 內定點。                         ……16分
考點：本題考查了用解析法求圓的方程及性質。
點評：用待定系數法求圓的方程要注意兩點：第一，究竟用標準方程還是一般方程要根據題設條件選擇，選擇得當，解法就簡捷，選擇不當，會增加解答的難度；第二，要注意適時運用幾何知識列方程，這樣可能大大減少運算量．