Question

有下列命題：
①函數y=f （-x+2）與y=f （x-2）的圖象關于y軸對稱；
②若函數f（x）=e^x，則?x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
③若函數f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，則f（-2）＞f（a+1）；
④若函數f（x+2010）=x²-2x-1 （x∈R），則函數f（x）的最小值為-2．
其中真命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：根據函數的對稱性判斷①，單調性、奇偶性判斷③、凹函數的性質判斷②，以及圖象的變換最值判斷④，即可得到選項．

解答：解：函數y=f （-x+2）與y=f （x-2）的圖象關于x=2軸對稱，故①不正確；
?x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，
則f（x）為凹函數，函數f（x）=e^x滿足條件，故②正確；
∵函數f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，
∴a＞1則a+1＞2
根據函數是偶函數則f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正確
函數f（x）的最小值與函數f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R）的最小值相等，
故函數f（x）的最小值為-2，故④正確
故答案為：②④．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及函數的單調性、奇偶性、對稱性等有關知識，屬于基礎題．