Question

已知二階矩陣M=（）有特征值λ₁=2及對應的一個特征向量．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若，求．
（2）已知直線l：（t為參數），曲線C₁：  （θ為參數）．
（Ⅰ）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C₂C，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當m=5時，求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）利用二級矩陣與平面列向量的乘法法則，可得結論；
（Ⅱ）確定矩陣M的特征多項式，確定矩陣M的另一個特征值，進而可得，由此可求；
（2）（Ⅰ）將l、曲線C₁，化為普通方程，聯立方程組，解得l與曲線C₁的交點坐標，可求|AB|；
（II）確定點P的坐標是（），求出點P到直線l的距離，即可求得最小值；
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函數的定義域；
（Ⅱ）f（x）≥1等價于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，從而可求m的取值范圍．
解答：（1）解：（Ⅰ）依題意：，∴∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩陣M的另一個特征值為λ₂=1，…（4分）
設是矩陣M屬于特征值λ₂=1的特征向量，則
∴，取x=1，得，…（5分）
∴，∴M¹⁰．…（7分）
（2）解：（I）l的普通方程為y=（x-1），曲線C₁的普通方程為x²+y²=1
聯立方程組，解得l與曲線C₁的交點為A（1，0），B（），則|AB|=1．…（3分）
（II）C₂的參數方程為（θ為參數），故點P的坐標是（sinθ），
從而點P到直線l的距離是d==，
由此當時，d取得最小值，且最小值為．…（7分）
（3）（I）由題意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
解得x＞3或x＜-2，∴函數的定義域為{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴log₂（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log₂2，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由題意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，則m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
點評：本題是選作題，考查知識全面，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．